关于$\mathbb{S}^5$中的Willmore Legendrian曲面及接触静止Legendrian Willmore曲面

在本文中，我们研究Willmore Legendrian曲面（即Willmore泛函临界点的Legendrian曲面）。我们利用\cite{Luo}中证明的一个等式得到$\mathbb{S}^5$中Willmore Legendrian曲面与接触静止Legendrian曲面之间的关系，然后利用该关系证明$\mathbb{S}^5$中Willmore Legendrian球面的一个分类结果。我们还得到Willmore Legendrian曲面的一个积分不等式，特别地，我们证明若$\mathbb{S}^5$中Willmore Legendrian曲面的第二基本形式平方长度属于$[0,2]$，则其必为$0$且$L$为全测地，或为$2$且$L$为平坦极小Legendrian环面，这推广了\cite{YKM}的结果。我们还研究了5维Sasakian流形中Legendrian曲面间的Willmore泛函变分。设$\Sigma$为闭曲面，$(M,\alpha,g_\alpha,J)$为具有接触形式$\alpha$、关联度量$g_\alpha$和近复结构$J$的5维Sasakian流形。假设$f:\Sigma\mapsto M$是一个Legendrian浸入。若$f$在接触形变下是Willmore泛函的临界点，则称其为接触静止Legendrian Willmore曲面（简称csL Willmore曲面）。为研究csL Willmore曲面的存在性，我们引入一种保持Legendre条件并降低Willmore能量的高阶流。作为第一步，我们证明若$(M,\alpha,g_\alpha,J)$是Sasakian Einstein流形，特别是$\mathbb{S}^5$，则该流适定。