紧凑 Dupin 超曲面的构造及其非常数 Lie 曲率

单位球 $S^n \subset {\bf R}^{n+1}$ 中的超曲面 $M$ 若在每个曲率曲面上对应主曲率为常数，则称为 Dupin 超曲面。若 $M$ 上的不同主曲率个数 $g$ 为常数，则称为 proper Dupin。本 expository 论文详细描述了在 $S^n$ 中构造紧凑 proper Dupin 超曲面的两种重要方法。第一种方法于 1989 年由 Pinkall 和 Thorbergsson 发表，第二种方法于 1989 年由 Miyaoka 和 Ozawa 发表。这两种示例都具有如下性质：它们不具有常数的 Lie 曲率（Lie 不变量，由 Miyaoka 发现，是主曲率四个组合成的十字比）。因此，这些示例不能通过 Lie 球面变换等价于 $S^n$ 中的等面积（常数主曲率）超曲面。它们是 Cecil 和 Ryan 于 1985 年关于每个紧凑 proper Dupin 超曲面在 Lie 球面变换下等价于等面积超曲面猜想的反例。