用李球面几何研究 ${\bf R}^n$ 中的 Dupin 超曲面

${\bf R}^n$ 或 $S^n$ 中的超曲面 $M$ 若沿每个曲率曲面相应的主曲率为常数，则称为 Dupin 超曲面。$M$ 上每个主曲率具有常重数（即 $M$ 上不同主曲率的数目为常数）的 Dupin 超曲面称为真 Dupin 超曲面。${\bf R}^n$ 或 $S^n$ 中 Dupin 与真 Dupin 超曲面的概念可推广到李球面几何的框架中，且易见这些性质在李球面变换下不变。这使得李球面几何成为研究 Dupin 超曲面的有效框架，并且已借助李球面变换得到了许多真 Dupin 超曲面的分类。在本笔记中，我们详细介绍这一用于研究 ${\bf R}^n$ 或 $S^n$ 中 Dupin 超曲面的方法，包括若干基本结果的证明。