通过简化 CBC 构造构建用于带随机系数椭圆 PDE 的 QMC 有限元方法

在利用拟蒙特卡罗（QMC）方法逼近带随机扩散系数椭圆偏微分方程解之线性泛函期望值的分析中，对参数的敏感性常表述为乘积与阶相关（POD）权重。利用这些 POD 权重的 $N$ 点 QMC 方法的（离线）快速分量逐分量（CBC）构造导致代价为 $\mathcal{O}(s N \log(N) + s^2 N)$，其中 $s$ 为参数截断维数。当 $s$ 很大时该代价难以承受。作为替代，Herrmann 与 Schwab 引入了一种分析，得到乘积权重，将构造代价降至 $\mathcal{O}(s N \log(N))$。我们在此展示如何将简化 CBC 方法用于 POD 权重，将代价降至 $\mathcal{O}(\sum_{j=1}^{\min\{s,s^*\}} (m-w_j+j) \, b^{m-w_j})$，其中 $N=b^m$，$b$ 为素数，$w_1 \le \cdots \le w_s$ 为非负整数，且 $s^*$ 可选择远小于 $s$，取决于随机场展开的正则性，从而使得直接使用 POD 权重成为可能。我们给出了通过简化 CBC 构造得到的随机移位格点法则的总误差估计。