$m \otimes n$系统中局部不可区分正交乘积基的构造

最近，Zhang等[Phys. Rev. A 92, 012332 (2015)]提出了在$d\otimes d$量子系统中局部不可区分且可补全的$4d-4$个正交乘积态。后来，Zhang等[arXiv: 1509.01814v2 (2015)]在$m\otimes n$ ($3\leq m \leq n$)中构造了$2n-1$个局部不可区分的正交乘积态。本文中，我们在一般$m\otimes n$ ($3\leq m \leq n$)量子系统中构造了具有$4p-4$个成员的局部不可区分且可补全的正交乘积基，其中$p$为从$3$到$m$的任意整数，并给出其局部不可区分性的一个非常简单但十分有效的证明。特别地，当$p=3$时，我们得到$m\otimes n$ ($3\leq m \leq n$)中不可局部区分的具有$8$个成员的可补全正交乘积基。这是迄今为止$m\otimes n$量子系统中最小的不可局部区分的可补全正交乘积基。另一方面，我们构造了具有$2p-1$个成员的较小的局部不可区分正交乘积基，其在$m\otimes n$ ($3\leq m \leq n$且$p$为从$3$到$m$的任意整数)中可能是不可补全的。我们也证明了其局部不可区分性。作为推论，我们给出在$m\otimes n$ ($3\leq m \leq n$)中局部不可区分的具有$5$个成员的不可补全正交乘积基。所有结果能使我们更好地理解$m \otimes n$中局部不可区分乘积基的结构。