扭 Dirac 算子的共形不变量与正数量曲率

对于一个闭的、自旋的、奇维黎曼流形 $(Y,g)$，我们定义了 $Y$ 上扭 Dirac 算子 $D^E_H$ 的 rho 不变量 $\rho_{spin}(Y,E,H, g)$，该算子作用于 $Y$ 上的平坦 Hermite 向量丛 $E$ 的截面，其中 $H = \sum i^{j+1} H_{2j+1}$ 是 $Y$ 上的奇数次闭微分形式，且 $H_{2j+1}$ 是次数为 ${2j+1}$ 的实值微分形式。我们证明了它仅依赖于对 $[H,g]$ 的共形类。在 $H$ 为闭 3-形式的特殊情况下，我们利用扭 Dirac 算子平方的 Lichnerowicz-Weitzenbock 公式证明：只要 $Y$ 是闭自旋流形，则对于所有足够小的 $|H|$，当 $g$ 为正数量曲率的黎曼度量时，有 $\rho_{spin}(Y,E,H, g)= \rho_{spin}(Y,E, g)$。当 $H$ 为定向三维流形上的最高次形式时，我们也计算了 $\rho_{spin}(Y,E,H, g)$。