谱截面、扭曲 rho 不变量与正数量曲率

我们此前曾为闭奇数维黎曼自旋流形 $(Y, g)$ 上的扭曲 Dirac 算子 $\not\partial^E_H$ 定义了 rho 不变量 $\rho_{spin}(Y,E,H, g)$，该算子作用于 $Y$ 上的平坦 Hermite 向量丛 $E$ 的截面，其中 $H = \sum i^{j+1} H_{2j+1}$ 是 $Y$ 上的奇数次微分形式，而 $H_{2j+1}$ 是次数为 ${2j+1}$ 的实值微分形式。此处我们证明它是偶对 $(H, g)$ 的共形不变量。在本文中，我们用谱流表达了缺陷整数 $\rho_{spin}(Y,E,H, g) - \rho_{spin}(Y,E, g)$，并证明了只要 $g$ 是正数量曲率的黎曼度量，就有 $\rho_{spin}(Y,E,H, g)\in \mathbb Q$。此外，如果最大 Baum-Connes 猜想对 $\pi_1(Y)$ 成立（假设其为无挠的），则我们证明对于所有 $r\gg 0$，有 $\rho_{spin}(Y,E,H, rg) =0$，这显著推广了我们早期的结果。这些结果是利用 Bismut-Weitzenb"ock 公式、缩放技巧、非交换谱截面技术以及 Higson-Roe 方法证明的。