配边、rho-不变量与 Baum-Connes 猜想

设 $G$ 为有限生成离散群。本文中，我们建立了与以下相关的 rho-不变量的消失结果：(i) 具有正数量曲率的 spin 流形的 spin-Dirac 算子；(ii) 具有基本群 $G$ 的一对同伦等价有向流形的不交并的号差算子。我们所考虑的不变量更确切地说有：— 与一对有限维酉表示相关的 Atiyah-Patodi-Singer rho-不变量。— Cheeger-Gromov 的 $L^2$-rho 不变量。— Lott 关于 $G$ 的有限共轭类的离域 eta 不变量。我们证明，若群 $G$ 无挠且对极大群 $C^*$-代数的 Baum-Connes 映射为双射，则所有这些 rho-不变量均消失。对于离域不变量，我们仅假定对约化 $C^*$-代数的 Baum-Connes 猜想成立。特别地，对此类群，与号差算子相关的三个 rho-不变量是同伦不变的。对于 APS 与 Cheeger-Gromov 的 rho-不变量，后一结果已由 Navin Keswani 确立。我们的证明重新确立了该结果，并将其推广到 Lott 的离域 eta 不变量。我们的方法也给出了关于 eta-不变量本身的一些信息（它是比 rho-不变量远为鞍形的对象）。