奇数维流形丛示性类的消没定理

我们展示了针对通常与自伴椭圆算子的 Atiyah-Singer 族指标定理如何自然地融入 Madsen-Tillmann-Weiss 谱的框架中。我们的主定理关注奇数维流形的丛。运用纯泛函分析方法，我们证明了对于任意具有奇数维纤维的光滑固有向纤维丛 $E \to X$，奇符号算子的族指标 $\ind (B) \in K^1 (X)$ 是平凡的。Atiyah-Singer 定理使我们能得出一个拓扑结论：广义 Madsen-Tillmann-Weiss 映射 $\alpha: B \Diff^+ (M^{2m-1}) \to \loopinf \MTSO(2m-1)$ 在有理上同调中消没 Hirzebruch $\cL$-类。若 $m=2$，这意味着 $\alpha$ 在有理上同调中诱导零映射。特别地，Madsen-Weiss 定理的三维类比是错误的。对于 3-流形 $M$，我们还在许多情况下证明了 $\alpha: B \Diff^+ (M) \to \MTSO (3)$ 在模 $p$ 上同调中的平凡性。我们针对带边流形丛展示了这些结果的适当版本。