两步 nilpotent 流形上闭 G2 结构的 nu 不变式

对于任意七维黏圆流上的非零旋量场，Crowley、Goette 和 Nordstr"om 定义了所谓的 $\nu$ 不变式。这是一个模 $48$ 的整数，用于检测七维有向旋量流形上任意 $\mathrm G_2$ 结构的修辞空间连通分支。$\nu$ 不变式可以 Mathai-Quillen 流、谐和旋量场以及旋量 Dirac 和奇签名算子的 $\eta$ 不变式的形式定义。我们计算了这些数据，用于具有自然旋量结构的紧致两步 nilpotent 流形上某些闭 $\mathrm G_2$ 结构的左不变形式。具体而言，我们确立了非不变谐和旋量场的存在，并确定谐和旋量空间维数的奇偶性。我们推导出在不变谐和旋量场上的 $\nu$ 为零。