$\mathbb{S}^4_1$ 中边际陷获曲面的共形几何

如果类空曲面 $S\subset \mathbb{S}^4_1$ 的平均曲率向量是类光的，则称其为边际陷获的。在任意有向类空曲面 $S \subset \mathbb{S}^4_1$ 上，我们证明法丛 $\nu(S)$ 的一个定向选择决定了一个光滑映射 $G: S \to \mathbb{S}^3$，我们称之为 $S$ 的零高斯映射（null Gauss map）。我们证明若 $S$ 是边际陷获的，则 $G$ 是共形浸入，避开 $S$ 的某二次 Hopf 微分（Hopf-differential）的零点，因此曲面 $G(S)$ 由两个不同的不变量唯一确定，至多差一个 $\mathbb{S}^3$ 的共形变换：法 Hopf 微分 $\kappa$ 和 Schwartzian 导数 $s$。我们展示这些不变量加上一个额外的二次微分 $\delta$ 通过一个微分方程相关联，并确定了 $S$ 的几何，至多差 $\mathbb{S}^4_1$ 的环绕等距。这使我们能够获得边际陷获曲面 $S$ 的一个刻画，其零高斯像是 $\mathbb{S}^3$ 中的约束 Willmore 曲面（constrained Willmore surface），在 C.Bohle, G. Peters 和 U.Pinkall [arXiv:math/0411479] 的意义下。作为这些结果的应用，我们构造并研究了具有非零平行平均曲率向量的边际陷获曲面以及具有平坦法丛的那些曲面的可积非平凡单参数形变。