Richelot 同源情形下的 Cassels-Tate 配对计算

本文研究具有一类称为 Richelot 同源的特殊同源的亏格二曲线 Jacobian 上的 Cassels-Tate 配对。设 $\phi: J \rightarrow \widehat{J}$ 为两条亏格二曲线 Jacobian 之间的 Richelot 同源。我们给出显式公式以及一个实用算法，用于计算 $\text{Sel}^{\widehat{\phi}}(\widehat{J}) \times \text{Sel}^{\widehat{\phi}}(\widehat{J})$ 上的 Cassels-Tate 配对，其中 $\widehat{\phi}$ 为 $\phi$ 的对偶同源。该公式与算法基于一个简化假设：即 $J$ 上所有二阶扭转点均在 $K$ 上定义。我们还包含一个计算实例，说明可通过计算 Cassels-Tate 配对将 Richelot 同源下降转化为 2-下降。