补偿凸性、多尺度中轴映射与平方距离函数的精确正则性

我们引入了一个用于定位和测量几何对象中轴的稳定数学模型，称为尺度 $\lambda$ 的二次多尺度中轴映射，并针对 $\mathbb{R}^n$ 中任意闭非空子集 $K$ 的平方距离函数证明了精确的正则性结果。我们的结果利用了函数 $C^l_{\lambda}(dist^2(\cdot;\, K))$ 的性质，该函数是通过对 $K$ 的欧几里得平方距离函数 $dist^2(\cdot;\, K)$ 施加参数为 $\lambda$ 的二次下补偿凸变换得到的。利用 $C^l_{\lambda}(dist^2(\cdot;\, K))$ 对 $dist^2(\cdot;\, K)$ 的紧逼近估计，我们证明了 $dist^2(\cdot;\, K)$ 在 $K$ 的中轴 $M_K$ 闭包邻域外具有 $C^{1,1}$ 正则性，并给出了 $C^l_{\lambda}(dist^2(\cdot;\, K))$ 关于到 $K$ 的缩放平方距离以及到实现到 $K$ 最小距离的点集凸包的渐近公式。多尺度中轴映射 $M_{\lambda}(\cdot;\, K)$ 是一族非负函数，其在 $\lambda \to \infty$ 时的极限存在，称为多尺度中轴景观映射 $M_{\infty}(\cdot;\, K)$。我们证明了 $M_{\infty}(\cdot;\, K)$ 在中轴 $M_K$ 上严格为正，而在其他位置为零。我们给出了确保 $M_{\lambda}(\cdot;\, K)$ 在由两点子集生成的 $M_K$ 的部分区段上保持恒定高度的条件，其中高度取决于生成点之间的距离，从而在 $M_K$ 的不同部分之间建立了层级关系，使得能够通过阈值化来选择 $M_K$ 的子集。给定 $\mathbb{R}^n$ 的紧子集 $K$，尽管已知 $M_K$ 不是 Hausdorff 稳定的，我们证明了 $M_{\lambda}(\cdot;\, K)$ 在 Hausdorff 距离下是稳定的，并推导了 $M_K$ 稳定部分定位的含义。文中给出了相关实例。