具有边界且平均曲率依赖于高斯映射的紧致曲面

给定单位球面 $\mathbb{S}^2$ 上定义的 $C^1$ 函数 $\mathcal{H}$，所谓 $\mathcal{H}$-曲面 $M$ 是指欧几里得空间 $\mathbb{R}^3$ 中满足平均曲率 $H_M$ 对 $p\in M$ 有 $H_M(p)=\mathcal{H}(N_p)$ 的曲面，其中 $N$ 为 $M$ 的高斯映射。给定闭简单曲线 $\Gamma\subset\mathbb{R}^3$ 与函数 $\mathcal{H}$，本文从 $\Gamma$ 出发研究张成 $\Gamma$ 的紧致 $\mathcal{H}$-曲面的几何性质。在对 $\mathcal{H}$ 的温和假设下，我们证明了闭 $\mathcal{H}$-曲面不存在，这与常平均曲率的经典情形相反。我们给出 $\mathcal{H}$ 的条件，保证当 $\Gamma$ 为圆时 $M$ 为旋转曲面。我们还建立了用曲面高度表示的 $\mathcal{H}$-曲面面积的估计存在性。