$\mathbb{R}^3$ 中具有预定平均曲率的螺旋面

给定一个函数 $\mathcal{H} \in C^1(\mathbb{S}^2)$，一个 $\mathcal{H}$-曲面 $\Sigma$ 是欧几里得空间 $\mathbb{R}^3$ 中的一个曲面，其平均曲率 $H_\Sigma$ 满足 $H_\Sigma = \mathcal{H} \circ \eta$，其中 $\eta$ 是 $\Sigma$ 的高斯映射。本文的目的是利用相空间分析，在 $\mathcal{H}$ 旋转对称的情况下，即对于某个 $\mathfrak{h} \in C^1([-1,1])$，有 $\mathcal{H} \circ \eta = \mathfrak{h} \circ \nu$，其中 $\nu$ 是曲面的角度函数，对螺旋 $\mathcal{H}$-曲面给出一些分类结果。我们证明了当 $\mathfrak{h}(t)$ 为偶函数且在 $t \in [0,1]$ 上递增时的一个分类定理。最后，我们提供了在 $\mathfrak{h}$ 在某点为零的情况下螺旋 $\mathcal{H}$-曲面的例子。