统一孤子系统的公共 Hirota 型 Bäcklund 变换

我们研究通过 SO(2,1) $\cong$ GL(2,$\mathbb R$) $\cong$ Möbius 群的视角来统一孤子系统 KdV/mKdV/sinh-Gordon，这或许是精确求解某些特殊非线性微分方程的关键。如果我们通过 KdV 型 Bäcklund 变换构造 $N$-孤子解，我们可以将不同的 KdV/mKdV/sinh-Gordon 方程以及标准形式的 Bäcklund 变换转化为相同的公共 Hirota 型和相同的公共 Bäcklund 变换，除了含时间导数项的方程。差异仅在于时间依赖性，而 $N$-孤子解的主要结构对 KdV/mKdV/sinh-Gordon 系统具有相同的公共形式。于是，sinh-Gordon 方程的 $N$-孤子解仅需通过由 KdV/mKdV 的 $N$-孤子解替换得到。我们还给出了源自 KdV 型 Bäcklund 变换的一般加法公式，它不仅在构造三角/双曲 $N$-孤子解中发挥重要作用，也在构造椭圆 $N$-孤子解中起本质作用。与 KdV 型 Bäcklund 变换相反，著名的 mKdV/sinh-Gordon 型 Bäcklund 变换给出非循环对称的 $N$-孤子解。我们给出了 KdV/mKdV/sinh-Gordon 方程的显式非循环对称 3-孤子解。