结合态添加与态删除方法研究 III 型多步有理扩展势：在阶梯算符与超可积性中的应用

本文研究了 III 型多步有理扩展谐振子势与径向谐振子势，其特征由一组 $k$ 个整数 $m_1$, $m_2$, \ldots, $m_k$ 刻画，满足 $m_1 < m_2 < \cdots < m_k$，且当 $i$ 为奇数（resp. 偶数）时 $m_i$ 为偶数（resp. 奇数）。在超对称量子力学框架下，结合针对这些势的态添加与态删除方法，构建了新的阶梯算符。研究表明，哈密顿量的本征态可分离为对应多项式海森堡代数的 $m_k+1$ 个无限维酉不可约表示。随后，利用这些阶梯算符为七个新的无限族超可积二维系统构建了高阶运动积分，这些系统在笛卡尔坐标下是可分离的。此类系统的多项式代数的有限维酉不可约表示可直接由阶梯算符作用于组成的一维哈密顿量本征态而确定，从而提供了对超可积系统整个谱（包括能级总简并度）的代数推导。