高阶超可积性、Painlevé 超越函数与多项式代数表示
数学物理
2020-11-10 v1 math.MP
摘要
近年来，关于具有高阶运动积分的超可积系统分类已取得进展。特别地，已完整分类了所有在笛卡尔坐标下允许变量分离、具三阶或四阶积分的奇异势。所有具五阶积分的双重奇异势也已完整分类。已证明 Chazy 类三阶微分方程在求解判定方程中起重要作用。此外，利用定义为阿贝尔、海森堡、共形与阶梯情形的各种算子代数，我们重新导出了这些模型。这些新技术也提供了具任意阶积分的超可积哈密顿量的进一步例子。已猜想所有不满足任何线性方程的量子超可积势满足具 Painlevé 性质的非线性方程。另外，已发现它们的积分自然生成有限生成多项式代数，且这些表示可被用以计算能谱。对于某些与例外正交多项式相关的非常有趣情形，这些代数结构不允许计算完整谱与简并度。已证明可构造并利用替代积分集提供完整解。这允许作出另一猜想，即高阶超可积系统可代数求解，它们需要不同于直接方法所提供的替代积分集。
引用
@article{arxiv.1904.11844,
title = {Higher order superintegrability, Painlev\'e transcendents and representations of polynomial algebras},
author = {Ian Marquette},
journal= {arXiv preprint arXiv:1904.11844},
year = {2020}
}