在笛卡尔坐标下分离的新型$N$阶超可积系统无穷族

本文研究了二维欧氏空间$E_2$中允许在笛卡尔坐标下分离变量的超可积量子系统。除哈密顿量$H$和负责变量分离的二阶运动积分$X$外，它们还允许第三个积分，该积分是线动量分量$p_1, p_2$的$N$阶（$N\geq3$）多项式。我们关注双外奇势，即势$V(x, y) = V_1(x) + V_2(y)$，其中$V_1(x)$与$V_2(y)$均不满足任何线性常微分方程。我们给出$E_2$中具$N$阶积分的两个新无穷超可积系统族，其$V_1(x)$与$V_2(y)$由通过Painlevé检验的非线性ODE的解给出。此结论对$3\leq N \leq 10$已验证。我们猜想这对任意双外奇势及所有$N$均成立，且势将总实际具有Painlevé性质。