超可积系统、多项式代数结构及能谱的精确推导

超可积系统是一类拥有比其自由度更多守恒量的物理系统。这类系统的研究历史悠久，并持续引起国际上的广泛关注。本论文研究了具有标量势以及具有单极型相互作用的矢量势的有限维量子超可积系统。我们引入了欧氏空间中带有非中心项和新双奇异位势谐振子的$N$维超可积Kepler-Coulomb系统新族，以及平坦与弯曲Taub-NUT空间中与Yang-Coulomb单极子相互作用的超可积Kepler、MIC-谐振子和形变Kepler系统新族。我们展示了它们的多重可分离性，并在不同坐标系下求得其Schrödinger波函数。我们表明这些波函数由（例外）正交多项式和Painlevé超越函数（超几何型）给出。我们通过直接法和构造法构建了系统的更高阶代数独立运动积分。这些积分形成（高阶）多项式代数，其结构常数涉及某些李代数的Casimir算子。我们获得了多项式代数的有限维酉表示，并给出了这些系统简并能谱的代数推导。最后，我们由例外正交多项式提出了一个广义超可积Kepler-Coulomb模型，并利用分离变量法和代数方法求得其能谱。