拟交替$3$-辫结的着色HOMFLY-PT多项式

从携带任意$SU(N)$表示的$3$-辫获取纽结的着色HOMFLY-PT多项式的封闭形式表达式是一个具有挑战性的问题。在本文中，我们将兴趣限制在扭转广义混合编织纽结上，此后我们将其记为$\hat{Q}_3(m_1,-m_2,n,\ell)$。该纽结族不仅推广了众所周知的编织纽结类，还包含一个无限拟交替纽结族。有趣的是，我们使用Reshitikhin-Turaev方法的修改版本，获得了$\hat{Q}_3(m_1,-m_2,n,\ell)$的HOMFLY-PT多项式的封闭形式表达式。此外，我们计算了拟交替纽结$\hat{Q}_3(1,-1,n,\pm 1)$的Jones多项式和Alexander多项式的精确系数。对于这些同调薄的纽结，已知此类系数分别是其Khovanov同调和link Floer同调的秩。我们还证明了Alexander多项式系数的渐近行为呈梯形。另一方面，我们计算了小$r$值下拟交替纽结的$[r]$-着色HOMFLY-PT多项式。值得注意的是，对某些扭转编织纽结行列式的研究导致了与$m^{th}$ Lucas数（此后记为$L_{m,2n}$）相关的计数几何建立联系。最后，我们验证了重构不变量满足Ooguri-Vafa猜想，并用超几何函数${}_2 {\bf F}_1\left[a,b, c;z\right]$表示了某些BPS整数。