混合编织纽结 $\hat{W}_{3}(m,n)$ 的着色 HOMFLY-PT 不变量

类型为 $(p, n)$ 的编织纽结 $W(p, n)$ 表示一个无限族双曲纽结，迄今尚未被纽结理论学者研究。与著名的 $(p,n)$ 环面纽结不同，我们尚无 $W(p,n)$ 的 HOMFLY-PT 与着色 HOMFLY-PT 的闭式表达式。在本文中，我们局限于 $W(3,n)$ 的一个混合推广，记为 $\hat{W}_3(m,n)$，并利用涉及 $\mathcal R$-矩阵的 Reshitikhin 和 Turaev 方法获得了 HOMFLY-PT 的闭式表达式。此外，我们还计算了 $W(3,n)$ 的 $[r]$-着色 HOMFLY-PT。令人惊讶的是，我们观察到两个二维 $\hat{\mathcal{R}}$-矩阵乘积的迹可以写成无限族洛朗多项式 $\mathcal{V}_{n,t}[q]$ 的形式，其绝对系数与斐波那契数 $\mathcal{F}_{n}$ 有有趣的关系。我们还计算了重整化不变量以及拓扑弦背景下的 BPS 整数。根据我们的分析，我们提出编织纽结 $W(3,n)$ 的某些精细化 BPS 整数可由第一类切比雪夫多项式的系数显式导出。