彩色HOMFLY-PT不变量和彩色Jones多项式的同余skein关系

彩色HOMFLY-PT不变量是彩色Jones多项式的推广，是纽结最重要的量子不变量之一。本文致力于研究纽结的彩色HOMFLY-PT不变量的基本结构。通过使用HOMFLY-PT skein理论，首先，我们证明了（重新表述的）彩色HOMFLY-PT不变量实际上位于环$\mathbb{Z}[(q-q^{-1})^2,t^{\pm 1}]$中。其次，我们建立了纽结彩色HOMFLY-PT不变量的某些对称公式，其中包括作为简单推论的秩-层对偶。最后，受带框纽结的Labastida-Mariño-Ooguri-Vafa猜想的启发，我们提出了（重新表述的）彩色HOMFLY-PT不变量的同余skein关系，这些关系是经典HOMFLY-PT多项式skein关系的推广。然后我们研究了彩色Jones多项式的同余skein关系。实际上，我们得到了纽结情况的一个简洁公式。作为应用，我们证明了一类三维流形的Reshetikhin-Turaev不变量的一个消失结果。最后我们研究了$SU(n)$量子不变量的同余skein关系。