关于 $S^1\times S^2$ 的 HOMFLY-PT 不变量与 Legendrian 链环

在文献\cite{GZ} 中，Gilmer 和 Zhong 确立了 $S^1\times S^2$ 中链环不变量的存在性，该不变量是变量 $a$ 和 $s$ 的有理函数，并满足 HOMFLY-PT 骨架关系。我们给出了利用实心环面 HOMFLY-PT 骨架模的标准几何简单基来计算该不变量的公式。这使得任意 $S^1\times S^2$ 中链环的不变量计算成为可能，并表明该不变量实际上是 $a$ 和 $z= s -s^{-1}$ 的 Laurent 多项式。我们的证明利用了 HOMFLY-PT 骨架模与 Legendrian 链环不变量之间的联系。作为推论，我们将 Thurston-Bennequin 数的 HOMFLY-PT 多项式估计推广到了具有 tight 接触结构的 $S^1\times S^2$ 中的 Legendrian 链环。