由算术预测的同调密度巧合

受解析数论中基本密度定理类比的启发，我们引入了一个空间在另一个空间中的同调密度概念（及其变体）。我们利用韦伊的数域/函数域类比来预测流形$X$上各种$0$-圈空间序列$\mathcal{Z}^{(d_1,\ldots,d_m)}_n(X)$的极限同调密度的巧合。本文的主要定理是，这些从纯拓扑观点看似奇怪的拓扑预测确实为真。用现有技术证明此类定理的障碍在于如何处理所有可能的点“碰撞”的组合复杂性，这一问题在配置空间的最简单（且经典）情形$(m,n)=(1,2)$中并不出现。为克服这一障碍，我们发展了一种方法，利用代数组合学中Björner--Wachs的字典序可壳性理论来研究此类问题。作为推论，我们为流形上广泛的$0$-圈类推导出新的同调稳定性定理。即使在经典情形$(m,n)=(1,2)$中，这也为经典结果以及Church等人的近期定理提供了一个新的、简化的证明。