同调类中计算瓶颈最优与字典序最优圈的复杂性

在应用中出现的空间（例如三维网格）的同调特征，是这些对象最重要的拓扑性质之一。给定一个同调类中的非平凡圈，我们考虑在该同调类中计算一个最优代表元的问题。我们研究两种最优性度量，即圈的字典序（字典序最优圈）与瓶颈范数（瓶颈最优圈）。我们给出一个简单算法，用于计算闭可定向曲面上 1-同调类中的字典序最优圈。与此相反，我们的主要结果是：在欧几里得三维空间中大小为 $n^2$ 的三流形情形下，寻找瓶颈最优圈的问题其求解效率不可能高于求解一个具有 $n \times n$ 稀疏矩阵线性方程组的效率。由该归约我们推导出若干困难性结果。最值得注意的是，我们证明对于作为三维空间中大小为 $n^2$ 的子集给出的三流形，持续同调计算至少与秩计算（对于稀疏矩阵）一样困难，而普通同调计算可在 $O(n^2 \log n)$ 时间内完成。这是这两种计算间首个此类区分。此外，由此可得在三维空间中单纯复形的高持续同调计算与一般子水平集持续同调计算间存在同样的差异。