同调类的不变量及其在机器人最优搜索与规划问题中的应用

我们考虑穿孔欧几里得空间 $\mathbb{R}^D - \widetilde{\mathcal{O}}$ 上的规划问题，其中 $\widetilde{\mathcal{O}}$ 是障碍物集合。此类空间常作为机器人的构型空间出现，其中 $\widetilde{\mathcal{O}}$ 代表机器人需要避开的物理障碍物（例如墙壁、其他机器人等）或非法状态（例如所有腿离地）。由于状态规划被转化为构型空间上的路径规划，我们将拓扑等价的路径归类为等价的规划方案。这促使我们在该类环境中寻找或探索不同的同调类，并在每个此类类中寻找代表性的最优轨迹。在本文中，我们首先考虑为 $(\mathbb{R}^D - \widetilde{\mathcal{O}})$ 中的 $(N-1)$-闭链寻找一组完整且易于计算的同调类不变量的问题。我们通过找到该穿孔欧几里得空间的 $(N-1)^{st}$ de Rham 上同调群的显式生成元，并利用其积分定义上闭链来实现这一目标。这些对偶上闭链在 $(N-1)$-闭链上的作用给出了所需的完整不变量集。我们通过示例说明了该计算过程。我们进一步表明，由于采用了积分方法，这套完整的不变量非常适合用于具有拓扑约束的机器人最优轨迹的基于搜索的高效规划。最后，我们将此方法扩展到通过对子空间进行坍缩而从 $(\mathbb{R}^D - \widetilde{\mathcal{O}})$ 导出的空间中的不变量计算，从而允许其应用于更广泛的非欧几里得背景空间类别。