Clifford 代数揭示了 Coxeter 群四元数根系的惊人几何意义

Coxeter（反射）群（秩为 3 和 4）以及 $E_8$ 的四元数表示已在文献中被广泛使用。本文在 Clifford 几何代数框架下分析了此类 Coxeter 群，该框架提供了一种执行反射和旋转的简单方法，同时更清晰地揭示了底层几何结构。Clifford 方法表明，四元数表示实际上具有非常简单的几何解释。研究表明，用纯四元数表示的秩为 3 的群 $A_1 \times A_1 \times A_1$、$A_3$、$B_3$ 和 $H_3$ 仅仅是 Hodge 对偶化的根矢量，它们决定了 Coxeter 群的反射平面。两次连续的反射产生一个旋转，由两个反射矢量的几何积描述，从而给出一个 Clifford 旋量。秩为 3 的群 $A_1 \times A_1 \times A_1$、$A_3$、$B_3$ 和 $H_3$ 的旋量产生了二元多面体群的一种新的简单构造。这些群进而生成秩为 4 的群 $A_1 \times A_1 \times A_1 \times A_1$、$D_4$、$F_4$ 和 $H_4$，并且它们被广泛使用的四元数表示被证明是伪装的旋量。因此，Clifford 几何积实际上诱导了从秩为 3 的群到秩为 4 的群的生成。特别是，$D_4$、$F_4$ 和 $H_4$ 群是例外结构，我们的研究为其提供了新的见解。