Riemann 球面上有理 1-形式模 PSL(2,C) 的分类

我们研究 Riemann 球面上恰好具有 $-s \leq -2$ 个单极点的有理 1-形式族 $\Omega^1(-1^s)$。我们识别出 $\Omega^1(-1^s)$ 上的三个等价的 $(2s-1)$ 维复图册，分别利用 1-形式的系数、零点-极点与留数-极点。当一个有理 1-形式的所有留数均为纯虚数时，称其为等时的。我们证明等时 1-形式的子族 $\mathcal{RI}\Omega^1(-1^s)$ 是复流形 $\Omega^1(-1^s)$ 中的 $(3s-1)$ 维实解析子流形。复 Lie 群 $PSL(2,\mathbb{C})$ 在 $\Omega^1(-1^s)$ 上全纯地作用。对于 $s \geq 3$，$PSL(2,\mathbb{C})$ 作用在 $\Omega^1(-1^s)$ 和 $\mathcal{RI}\Omega^1(-1^s)$ 上是真正的。因此，商 $\Omega^1(-1^s)/PSL(2,\mathbb{C})$ 和 $\mathcal{RI}\Omega^1(-1^s)/PSL(2,\mathbb{C})$ 允许按轨道类型进行分层。利用一组显式的 $PSL(2,\mathbb{C})$ 不变函数，我们给出了商 $\Omega^1(-1^s)/PSL(2,\mathbb{C})$ 和 $\mathcal{RI}\Omega^1(-1^s)/PSL(2,\mathbb{C})$ 的实现。