关于主丛的无穷小自同构

我们回顾复解析背景下向量场的一些基本事实,由此得到一个有理化结果以及对 Birkhoff-Grothendieck 定理的推广,如下:(1) 设 $Z$ 是一个紧复流形,赋予一个非常丰沛线丛 $L$。记 $\mathfrak{g}_L$ 为 $L$ 的无穷小自同构的扩张李代数。若 $\mathfrak{g}_L$ 在 $L$ 的全纯截面的空间上的表示是不可约的,则 $Z$ 是有理的;(2) 设 $P$ 是黎曼球面上以结构群 $G$ 为全纯主丛,其李代数不等于其幂零根基。则存在 $G$ 的一个李子群 $H$,它是 ${\rm SL}(2)$ 的 Borel 子群的商,使得 $P$ 容许到 $H$ 的约化。