基于各向同性群的黎曼球上有理微分形式分类

我们依据各向同性群对黎曼球上具有简单极点和简单零点的有理微分 1-形式进行分类；当该 1-形式恰有两个极点时，各向同性群同构于 $\mathbb{C}^{*}$，即 $\{z\mapsto az\ \vert\ a\in\mathbb{C}, a\neq0\}$，而当该 1-形式有 $k\geq 3$ 个极点时，各向同性群是有限的。特别地，我们证明了 $PSL(2,\mathbb{C})$ 的所有有限子群均可实现为 $\widehat{\mathbb{C}}$ 上有理 1-形式的各向同性群。我们还给出了其分类的局部与整体几何条件。该分类结果使我们能够描述黎曼球上恰有 $k$ 个简单极点和 $k-2$ 个简单零点且具有限各向同性群的有理 1-形式的模空间。此外，我们给出了 1-形式等时（isochronous）的充分（几何）条件。关于 J.C.~Langer 的近期工作，我们反思了我们的工作与其之间的紧密关系，并就黎曼球上有理二次微分所产生的多面体几何给出了部分回答。