关于有理四维含单位元除法代数的分类

在 E. Dieterich 2017 年的论文中，研究了四维含单位元除法代数范畴 $\mathscr{C}(k)$，其右核非平凡且其自同构群包含 Klein 四元群 $V$，该范畴建立在一般基域 $k$ 上且 $\mathrm{char}\,k\neq 2$。特别地，该文中的对象由 $k^3$ 中的参数详尽构造出来，并依据这些参数给出了所构造对象的显式同构条件。本文中，我们特化到 $k=\mathbb{Q}$ 的情形，并给出朝向 $\mathscr{C}(\mathbb{Q})$ 分类的结果。特别地，对每个满足 $[\ell:k]=2$ 的域 $\ell$，我们显式给出 $\mathscr{C}(\mathbb{Q})$ 中两两不同构的非结合对象的一个双参数族，这些对象以 $\ell$ 为子域；并且我们提供了一种方法，用于分类以 $\ell$ 为子域和 $kV$-子模的中心斜域全子范畴。我们还分类了 $\mathscr{C}(\mathbb{Q})$ 中所有以 $\ell$ 为子域、Galois 群为 $V$ 的四维 Galois 扩张的子范畴。