奇异黎曼叶状结构与 $\mathcal{I}$-泊松流形

我们回顾流形 $M$ 上奇异叶状结构（SF）的概念，将其视为 $\mathfrak{X}(M)$ 的适当子模，并使其适应黎曼度量 $g$ 的存在，得到奇异黎曼叶状结构（SRF）的模版本。遵循 Garmendia-Zambon 关于 SF 的 Hausdorff Morita 等价，我们定义 SRF 的 Morita 等价（既包括模意义下，也包括 Molino 更传统的几何意义下），并证明 Morita 等价的 SRF 的叶空间作为伪度量空间同构。在第二部分，我们引入 $\mathcal{I}$-泊松流形范畴。其对象与态射在流形上光滑函数的适当理想 $\mathcal{I}$ 存在下推广了泊松流形与态射，并满足两个条件：$(i)$ 当取 $\mathcal{I}=0$ 时泊松流形范畴成为全子范畴；$(ii)$ 存在从该新范畴到泊松代数范畴的约化函子，将余各向同性约化推广至奇异情形。 $M$ 上的每个 SF 在 $T^*M$ 上给出一个 $\mathcal{I}$-泊松流形，而 $g$ 将其增强为 SRF 当且仅当诱导的哈密顿量属于 $\mathcal{I}$ 的正规化子。该视角一方面提供了模 SRF 皆为几何 SRF 这一事实的简单证明，另一方面给出了奇异叶状结构的一个代数不变量：Hausdorff Morita 等价的 SF 具有同构的约化泊松代数。