奇异黎曼叶状结构、变分问题与对称临界性原理

完备黎曼流形 $M$ 上的奇异叶状结构 $\mathcal{F}$ 若其叶局部等距则称为奇异黎曼叶状结构(简称 SRF),例如 $M$ 由等距李群作用轨道的划分。本文中,我们研究配备具有特殊性质(我们命名为 AVP)的 SRF 的紧黎曼流形上的变分问题。所考虑的此类 SRF 的例子包括等参叶状结构、欧氏纤维丛上的 SRF,以及 $M$ 由等距作用的李群轨道的划分。更精确地,我们证明了 Palais 对称临界性原理在巴拿赫空间 $W^{1,p}(M)$ 上 $\mathcal{F}$-对称积分算子的类比。该结果连同 $\mathcal{F}$-基本 Sobolev 函数的 Rellich--Kondrachov--Hebey--Vaugon 嵌入定理的一个版本,使我们能在将变分法技术应用于求 PDE 解时规避 Sobolev 临界指数的困难。作为示例,我们证明了一类变分问题(包括配备 AVP 流形的 $p$-Kirchhoff 问题)存在可数无穷多弱解。