黎曼球上具有本质奇点的复解析向量场的对称性

我们考虑族 $\mathcal{E}(s,r,d)=\Big\{ X(z)=\frac{Q(z)}{P(z)}\ e^{E(z)} \frac{\partial}{\partial z} \Big\}$，其中 $Q, P, E$ 为多项式，deg${Q}=s$，deg$(P)=r$，deg$(E)=d$，即黎曼球 $\widehat{\mathbb{C}}$ 上奇异复解析向量场 $X$ 的族。对于 $d\geq1$，$X\in\mathcal{E}(s,r,d)$ 在复平面上有 $s$ 个零点和 $r$ 个极点，且在无穷远处有本质奇点。利用仿射群 $Aut(\mathbb{C})$ 的拉回作用以及 $X$ 的除子，我们计算了 $X\in\mathcal{E}(s,r,d)$ 的isotropy群 $Aut(\mathbb{C})_{X}$ 和离散对称性。那些在 $Aut(\mathbb{C})$ 中具有平凡 isotropy 群的 $X$ 组成的每个子族 $\mathcal{E}(s,r,d)_{id}$，都被赋予一个全纯平凡主 $Aut(\mathbb{C})$-丛结构。给出了保证等式 $\mathcal{E}(s,r,d)=\mathcal{E}(s,r,d)_{id}$ 成立以及实现具有非平凡 isotropy 的 $X\in\mathcal{E}(s,r,d)$ 的充要条件。给出了 $X\in\mathcal{E}(s,r,d)$ 的显式全局范式。将向量场、1-形式、二次微分与函数之间的自然对应扩展至包含非平凡离散对称性 $\Gamma<Aut(\mathbb{C})$ 的情形。