2-亚稳定维数中纽结环面的分类

本文研究经典的纽结问题：对于给定的流形N和数m，描述嵌入$N\to S^m$的同痕类集合。我们研究纽结环面的具体情况，即嵌入$S^p \times S^q \to S^m$。A. Haefliger、E. Zeeman和A. Skopenkov给出了亚稳定维数范围$m>p+\frac{3}{2}q+2$，$p\le q$内纽结环面在同痕下的分类。我们考虑低于亚稳定范围的维数，并给出了2-亚稳定维数中该同痕类集合有限性的显式判据：定理。假设$p+\frac{4}{3}q+2<m<p+\frac{3}{2}q+2$且$m>2p+q+2$。则光滑嵌入$S^p \times S^q \to S^m$的同痕类集合是无限的，当且仅当$q+1$或$p+q+1$能被4整除。我们的分类方法基于链环映射理论中Koschorke正合序列的类比。该序列涉及纽结环面的一个新的$\beta$-不变量。使用嵌入手术和研究补集的Habegger-Kaiser技术证明了其正合性。