三维流形中带框架链环的分类

我们给出下述 Pontryagin 定理的一个简短证明,其原始证明较为复杂且从未详细发表过:**定理.** 设 $M$ 为一连通定向闭光滑三维流形。设 $L_1(M)$ 为 $M$ 中带框架链环在带框架配边下的集合。设 $\deg:L_1(M)\to H_1(M;\Z)$ 为将带框架链环映到其同调类的映射。则对每个 $\alpha\in H_1(M;\Z)$,集合 $\deg\nolimits^{-1}\alpha$ 与群 $\Bbb Z_{2d(\alpha)}$ 之间存在一一对应,其中 $d(\alpha)$ 为 $\alpha$ 在 $H_1(M;\Bbb Z)$ 自由部分上投影的整除性。