通过 $O(n^2)$ 算法实现的 3-流形框架链表示，I：gems 及其对偶

给定定向闭 3-流形 $M^3$ 的一种特殊类型的三角剖分 $T$，我们通过复杂度为 $O(n^2)$ 的算法在 $S^3$ 中生成一个框架链（framed link），该链诱导产生相同的 $M^3$，其中 $n$ 是 $T$ 中四面体的数量。这个特殊类别由{\em 可解 gems}的对偶构成。实际上，这些对偶很容易从 $M^3$ 的任何三角剖分中获得。关于每个闭定向 3-流形均由可解 gem 诱导的猜想，已在由具有少量顶点的 gem 诱导的流形上进行了详尽的验证。我们的算法为那些迄今为止尚无显式已知表示的著名 3-流形生成了框架链表示。这项工作的一个推论是，目前仅能从手术表示计算的 3-流形不变量（如 Witten-Reshetkhin-Turaev 不变量）也变得可以从三角剖分中计算。这似乎是一个新的且有用的结果。我们的阐述分为三篇文章。第一篇文章提供了我们的动机、关于 3-流形表示的一些历史回顾，并回顾了我们需要的相关 gems 事实。