通过$O(n^2)$算法实现的 3-流形框架链表示，III：嵌入$\mathbb{R}^3$的几何复形$\mathcal{H}_n^\star$

在这篇三部分系列文章的最后一部分中，我们介绍了第二篇论文中描述的抽象 PL-有色复形$\mathcal{H}_{m}^\star$的一对“翼”。这对翼通过加权增强的平面图 Tutte 重心嵌入，将三维问题意外地重构为二维问题。最终一对翼中每一个的总边数少于$8n-5$。Tutte 方法在最终一对的两个翼上各应用$O(n)$次，以确保包含最终翼的平面图嵌入的直线性。在最终翼上构建锥体提供了 PL-复形$\mathcal{H}_1^\diamond$，其中适当固定在$\mathbb{R}^3$中的 0-单形集为$\{a_1, a_2,...,a_f\} \cup \{b_1, b_2,...,b_g\}$（如文章第二部分所定义）。其他 0-单形通过平分连接先前定义点的线段获得。这意味着$\mathcal{H}_n$被 PL-嵌入到$\mathbb{R}^3$中。随后，我们通过直接在$\mathcal{H}_{n}^\star$中定义一些不相交的圆柱体（源自解消的扭转子的对偶，即铰链），并建立一一对应关系，从而完成了由带有解消的 gem 诱导的 3-流形的手术描述。圆柱体的中线定义了我们寻求的链。中线的框架是对应圆柱体边界分量的链接数。对整个过程的分析表明，完成该算法所需的内存和时间需求为$O(n^2)$。附录中给出了回答 Jeffrey Weeks 问题的 Weber-Seifert 3-流形的数据。它由一个具有 142 个交叉点的链组成，但允许简化。