$\mathbb{P}^{2}_{\mathbb{C}}$ 上具有平坦 Legendre 变换的三阶叶状结构的分类

复射影平面上的三阶叶状结构集合 $\mathbf{F}(3)$ 可以等同于一个 $23$ 维射影空间中的 Zariski 开集，$\mathrm{Aut}(\mathbb{P}^{2}_{\mathbb{C}})$ 作用于其上。$\mathbf{F}(3)$ 中由具有平坦 Legendre 变换（对偶网）的叶状结构构成的子集 $\mathbf{FP}(3)$ 是 $\mathbf{F}(3)$ 的一个 Zariski 闭子集。我们在相差 $\mathbb{P}^{2}_{\mathbb{C}}$ 自同构的意义下对 $\mathbf{FP}(3)$ 中的元素进行了分类。更确切地说，我们证明了在相差自同构的意义下，存在 $16$ 个具有平坦 Legendre 变换的三阶叶状结构。由该分类我们推导出 $\mathbf{FP}(3)$ 恰好有 $12$ 个不可约分支。我们还推导出，在相差自同构的意义下，$\mathbb{P}^{2}_{\mathbb{C}}$ 上存在 $4$ 个凸三阶叶状结构。