弦图、接触-拓扑量子场论与接触范畴
摘要
我们考虑具有纵向缝合线的实心环面的缝合 Floer 同调中的接触元素，作为 Honda--Kazez--Matić 在 \cite{HKM08} 中定义的 (1+1) 维拓扑量子场论的一部分。这些实心环面的 构成了“帕斯卡三角的范畴化”，且接触结构与弦图（即圆盘中不相交的固有嵌入弧的集合）一一对应。它们的接触元素是互异的，并构成 中由 Narayana 数给出阶数的特定子集。我们发现了自然的“产生和湮灭算子”，从而能够定义由接触元素组成的 的 QFT 型基。在此情形下，缝合 Floer 同调简化为弦图的组合学。我们证明接触元素与关于某个偏序的可比较基元素对一一对应。该描述中的代数和组合结构具有内在的接触拓扑意义。特别地， 的 QFT 基及其偏序在纯接触拓扑学中有自然的解释，与圆盘的接触范畴相关：该偏序使我们能够判断通过“堆叠”两个弦图得到的缝合实心圆柱是否具有紧致接触结构。这促使我们将 Honda 的接触范畴概念推广到“有界”接触范畴，其中包含给定接触实心圆柱内出现的弦图和接触结构。我们在某些情形下计算了该有界接触范畴。此外，将接触元素分解为基元素自然给出了实心圆柱上接触结构的三元组，我们将其视为接触范畴中的一种“特异三角形”。我们还利用接触元素间出现的代数结构，将接触范畴的概念推广到 2-范畴。
引用
@article{arxiv.0903.1453,
title = {Chord diagrams, contact-topological quantum field theory, and contact categories},
author = {Daniel V. Mathews},
journal= {arXiv preprint arXiv:0903.1453},
year = {2014}
}
备注
v.2: 74 pages, 51 figures. Much new material added, especially about contact categories, hence title change; much rewritten/restructured; some minor corrections; some details/background/exposition removed/shortened in the interest of concision. v.1: 89 pages, 42 figures