$A_\infty$ 代数、链代数与切触范畴

在前序工作中，我们证明了四角剖分曲面的切触范畴代数同构于源自边缘缝合 Floer 理论的链代数的同调。由于同构于微分分次代数的同调，该切触范畴代数具有 $A_\infty$ 结构，这使我们不仅能通过粘合，还能通过高阶运算来组合切触结构。在本文中，我们研究了切触结构上的此类 $A_\infty$ 结构与高阶运算。我们给出了此类 $A_\infty$ 结构的显式构造，并确立了它们的一些性质，包括 $A_\infty$ 运算消失与非消失的条件。在此过程中，我们发展了若干相关概念，包括对链图张积的详细讨论。