有向 $k$ 叉树上的芯片发射

芯片发射是一种在图上进行的组合游戏，在其中我们在顶点上放置并分散芯片，直到到达稳定状态。我们研究的是在无限根基有向 $k$ 叉树上进行的芯片发射变体，在其中我们在某个正整数 $\ell$ 上在根上放置 $k^\ell$ 个芯片，并且我们说某个顶点 $v$ 可以发射，如果它至少有 $k$ 个芯片。顶点发射时，会将每个 out-neighbor 接收一个芯片。一旦每个顶点都有少于 $k$ 个芯片，我们就到达稳定配置，因为没有顶点可以发射。我们确定在芯片是可区分的情形下，所有可能的稳定配置的数量和性质。