欧拉有向图的芯片点火游戏与部分 Tutte 多项式

芯片点火游戏 (Chip-firing game) 是一种在图上进行的离散动力系统，其中芯片根据简单的局部规则沿边移动。底层图的性质当然有助于理解该游戏，但自 Biggs 提出并由 Merino L\'opez 证明的一个猜想以来，我们也知道对芯片点火游戏的研究可以提供关于图的见解。特别是，对于无向图，部分 Tutte 多项式 $T_G(1,y)$ 与芯片点火游戏（具有一个 distinguished sink 顶点）的回归配置集之间已建立了强关系。一个直接推论是，回归配置集的生成函数独立于游戏中 sink 的选择，因为它刻画了底层图本身。在本文中，我们证明了这一性质也适用于欧拉有向图 (digraphs)，这是一类介于无向图和一般有向图之间的图类。由此性质可知，欧拉有向图的回归配置集的生成函数是将部分 Tutte 多项式 $T_G(1,y)$ 推广到该类图的自然且令人信服的候选者。我们的工作也为寻找将有向图推广到一般有向图的 Tutte 多项式提供了一些有前景的方向。