关于烧蚀芯片点燃博弈的长度

我们继续对烧蚀芯片点燃博弈的研究，此前研究见 [Discrete Math. Theor. Comput. Sci. 15 (2013), no. 1, 121-132; MR3040546] 与 [Australas. J. Combin. 68 (2017), no. 3, 330-345; MR3656659]。后一篇文章通过从图 $G$ 的顶点集中均匀选取连续种子引入了随机性。博弈的长度是指当激发的芯片构型过渡到松弛状态时发生点燃（向每个邻点发送一个芯片并湮灭一个芯片）的顶点数。本文确定了在长序列烧蚀博弈中博弈长度的概率分布。我们的主要结果给出了对应于每个可能长度的配对 $(C,v)$ 的精确计数，其中 $C$ 为松弛合法构型，$v$ 为种子。作为支撑，我们给出了图 $G$ 上松弛合法构型集合 $\mathcal{R}$ 与 $G$ 的锥 $G^*$ 中生成树集合等势这一熟知结论的自主证明。我们给出了该对应关系的算法化双射证明。