由 $\mathcal A$-自由测度生成的广义 Young 测度的刻画

我们给出两种刻画：一种针对由 $\mathcal A$-自由测度生成的广义 Young 测度类，另一种针对由 $\mathcal B$-梯度测度 $\mathcal Bu$ 生成的类。此处，$\mathcal A$ 和 $\mathcal B$ 为任意阶线性齐次算子，我们假设其满足常秩性质。该刻画借助著名的 Hahn--Banach 分离性质，将广义 $\mathcal A$-自由 Young 测度类与 $\mathcal A$-拟凸被积函数类置于对偶关系中。对广义 $\mathcal B$-梯度 Young 测度有类似结论。在应用方面，我们讨论了若干例子，展示了当允许质量集中时 $\mathrm{L}^1$-补偿紧致性的刚性或失效。这包括椭圆系统 $\mathrm{L}^1$-估计的失效以及两态问题 $\mathrm{L}^1$-刚性的失效。作为我们技术的副产品，我们还证明了对于任意有界开集 $\Omega$，包含关系 $$\mathrm{L}^1(\Omega) \cap \ker \mathcal A \hookrightarrow \mathcal M(\Omega) \cap \ker \mathcal A,$$ $$\{\mathcal B u\in \mathrm{C}^\infty(\Omega)\} \hookrightarrow \{\mathcal B u\in \mathcal M(\Omega)\},$$ 关于测度的面积泛函收敛是稠密的。