非离散局部紧阿贝尔群上的广义群代数与广义测度代数

设 $G$ 为具有对偶群 $\Gamma$ 的非离散 LCA 群。我们定义 $G$ 上的广义群代数 ${\mathcal L}^1(G)$ 与广义测度代数 ${\mathcal M}(G)$，分别作为群代数 $L^1(G)$ 与测度代数 $M(G)$ 的推广。广义 Fourier 变换（作用于 ${\mathcal L}^1(G)$ 的元素）与广义 Fourier-Stieltjes 变换（作用于 ${\mathcal M}(G)$ 的元素）亦被定义，分别作为 Fourier 变换与 Fourier-Stieltjes 变换的推广。${\mathcal L}^1(G)$ 在广义 Fourier 变换下的像 ${\mathcal A}(\Gamma)$ 成为 $\Gamma$ 上的一个函数代数，其范数通过该变换由 ${\mathcal L}^1(G)$ 继承。我们证明 ${\mathcal A}(\Gamma)$ 是 $\Gamma$ 上的一个自然 Banach 函数代数，且为 BSE 与 BED。结果表明 ${\mathcal L}^1(G)$ 包含所有 Rajchman 测度。我们定义并研究了 ${\mathcal L}^1(G)$ 中的 Segal 代数。我们证明 ${\mathcal L}^1(G)$ 中存在最小的等距字符不变 Segal 代数，它（最终）与 $L^1(G)$ 中最小的等距字符不变 Segal 代数即 $G$ 的 Feichtinger 代数重合。我们引入并研究了 ${\mathcal M}(G)$ 中局部有界元素的概念。我们证明对 ${\mathcal M}(G)$ 中每个局部有界元素 $\mu$，存在唯一的 $G$ 上 Radon 测度 $\iota \mu$ 来刻画 $\mu$。我们研究了 ${\mathcal L}^1(G)$ 的乘子代数 $\mathbb{M}({\mathcal L}^1(G))$，并得到结论：$\mathbb{M} ({\mathcal L}^1(G))$ 到 $A(G)^*$（即 $G$ 上的伪测度代数）存在一个自然连续同构。当 $G$ 为紧群时，该映射成为满射且等距。