精确相对论三体引力系统中的混沌

我们考察了相对论一维自引力三体运动的问题。在描述作用的规范分解后，我们找到了一个精确的三体哈密顿量表达式，该表达式以系统中四个坐标和动量自由度的形式隐式确定。非相对论情况下，这些自由度可以重写为单个在二维六边形井中运动的粒子。我们找到了该势的精确相对论推广形式，以及其后牛顿近似。随后我们专注于等质量情况，对哈密顿量所得到的运动方程进行数值求解。在六边形井坐标中，我们得到了六边形和三体表示系统中的轨迹，并绘制了作为相对论能量参数 $\eta$ 函数的 Poincare 截图。我们发现两种广义的周期和准周期运动类别，称为环形和pretzel图案，以及一组在这两种类型之间相空间区域出现的混沌运动。尽管相对论系统中存在高度非线性，我们发现其相空间的全局结构在我们能够研究的所有 $\eta$ 值下都与其非相对论对应物保持定性相同。然而，由于相对论系统对称性较弱，其 Poincare 截图会出现不对称扭曲，这种扭曲随着 $\eta$ 的增大而增强。对于后牛顿系统，我们发现当 $\eta \simeq 0.26$ 时会发生 KAM 破坏：超过该值后，接近可积区域会退化为混沌。