不具有光滑解的某些分数阶拉普拉斯方程

设 $f$ 为定义在 $\mathbb{R}$ 上的实值函数，满足 $f(0) \neq 0$ 且在非空开区间内不为常数。我们证明方程 \begin{equation}\label{edif} \left\{ \begin{array}{rcll} (-\Delta )^{s}u & = & f(u), & \text{in }B_{1}, \\ u & = & 0, & \text{in }B_{1}^{c}, \end{array} \right. \end{equation} 其中 $(-\Delta )^{s}$ 是 $s$-分数阶拉普拉斯算子，$0< s <1$，在 $d>2s$ 时没有 $C^{2}(\overline{B_{1}})$ 解。该证明基于移动平面法以及用 $s$-调和函数对 $C^{2}(\overline{B_{1}})$ 函数的逼近。