$\mathbb{R}^d$ 中的中心向外分布函数、分位数、秩与符号

涉及秩与符号的单变量概念如分位数与分布函数，并不能规范地推广到 $\mathbb{R}^d, d\geq 2$。弥补这一缺陷已产生了大量文献。第 1 章表明，与迄今提出的诸多定义不同，Chernozhukov 等人（2017）引入的基于测度传输的定义具备使单变量分位数与秩成为半参数统计推断成功工具的所有性质。因此我们提出多元分布与分位数函数及其经验对应项的新的中心向外定义，并为其获得 Glivenko-Cantelli 结果。我们的方法是几何的，且与 Chernozhukov 等人（2017）的 Monge-Kantorovich 方法相反，不需要任何矩假设。所得秩与符号是严格分布自由的，并且在由数据驱动的一类（保序）变换作用下为极大不变元，该类变换生成绝对连续分布族；该性质是秩的半参数效率保持性质的理论基础。相应的分位数在同一类变换下具有等变性。所提出的经验分布函数仅定义在观测值上。将其连续延拓至整个 $\mathbb{R}^d$，在保持单调性与 Glivenko-Cantelli 特征的同时给出连续经验分位数等高线是可取的。此种延拓需要解决循环单调性约束下的光滑插值这一非平凡问题。第 2 章给出了该问题的完整解；我们证明所得分布与分位数函数是 Lipschitz 的，并给出了 Lipschitz 常数的一个锐下界。我们对经验中心向外分位数等高线及其一致性进行了数值研究。